Analyyttinen geometria

Jana

pituus d=\sqrt{{\left({x}_{2}-{x}_{1} \right)}^{2}+{\left({y}_{2}-{y}_{1} \right)}^{2}}
keskipiste M=\left(\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2},\: \frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2} \right)
 
jakopiste P=\left(\frac{p{x}_{1}+q{x}_{2}}{p+q},\: \frac{p{y}_{1}+q{y}_{2}}{p+q} \right)
 

 

Suora

suuntakulma \small \alpha \in ]{-90}^{o},\: +{90}^{o}]
  
suuntavektori\small \bar{s}={s}_{x}\bar{i}+{s}_{y}\bar{j} tai \small \bar{s}=i+k\bar{j}
Kulmakerroin \small k=tan\: \alpha =\frac{{s}_{y}}{{s}_{x}}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}
k > 0suora nouseva
k < 0suora laskeva
k = 0suora x-akselin suuntainen
ei k: tasuora y-akselin suuntainen
Yhdensuuntaisuus ehto \small {s}_{1}\parallel {s}_{2}\Leftrightarrow {k}_{1}={k}_{2}
tai suorat ovat y-akselin suuntaiset 
Kohtisuoruusehto\small {s}_{1}\perp {s}_{2}\Leftrightarrow {k}_{1}\cdot {k}_{2}=-1
tai toinen suora on x-akselin suuntainen, toinen y-akselin suuntainen
Suorien välinen kulma \small \phi \in \left[{0}^{o},\: {90}^{o} \right]
\small tan\: \phi=\left|\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{1+{k}_{1}{k}_{2}} \right|,\: cos\: \phi=\frac{\left|{\bar{s}}_{1}\cdot {\bar{s}}_{2} \right|}{\left|{\bar{s}}_{1} \right|\left|{\bar{s}}_{2} \right|}=\frac{\left|{\bar{n}}_{1}\cdot {\bar{n}}_{2} \right|}{\left|{\bar{n}}_{1} \right|\left|{\bar{n}}_{2} \right|}
Yhtälötyypit
1. Pisteen (x0, y0) kautta kulkeva
y – y0 = k (x – x0)
\small Parametrimuoto\: \begin{cases} & \text{ } x={x}_{0}+at \\ & \text{ } y={y}_{0}+bt \end{cases}
2. Pisteiden (x1, y1) ja (x2, y2) kautta
kulkeva
\small y-{y}_{1}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}\left(x-{x}_{1} \right)
3. x-akselin suuntainen y = t
4. y-akselin suuntainen x = u
5. Akselit pisteissä (u, 0) ja (0, t)
leikkaava
t\small \frac{x}{u}+\frac{y}{t}=1
6. normaalimuoto ax + by + c = 0
normaalivektori    \small \bar{n}=a\bar{i}+b\bar{j}
suuntavektori        \small \bar{s}=b\bar{i}-a\bar{j}kulmakerroin        \small k=-\frac{a}{b}

Pisteen etäisyys suorasta
\small d=\frac{\left|a{x}_{0}+b{x}_{0}+c \right|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}

 

Ympyrä

Origokeskinenx2 + y2 = r2 
Parametrimuoto \small \begin{cases} & \text{ } x= r\: cos\: t \\ & \text{ } y= r\: sin\: t \end{cases}
Keskipiste (x0, y0)(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 
Normaalimuotox2 + y2 + ax + by + c = 0

 

Ellipsi

OrigokeskinenParametrimuotoKeskipiste (x0, y0)
 \small \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \small \begin{cases} & \text{ } x=a\: cos\:t \\ & \text{ } y=b\: sin\:t \end{cases} \small \frac{{\left(x-{x}_{0} \right)}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{\left(y-{y}_{0} \right)}^{2}}{{b}^{2}}=1
 puoliakselit
isoakseli
pikkuakseli
a ja b
2a
2b
 

 

Paraabeli

akseli
y-akselinsuuntainen
akseli
x-akselin suuntainen
huippu origossay = ax2x = ay2
a > 0
a < 0
huippu (x0, y0)y – y0 = a (x – x0)2x -x0 = a (y – y0)2
a > 0
a < 0
normaalimuotoy = ax2 + bx + cx = ay2 + by + c

 

Hyperbeli

 \small \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \small \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=-1
Hyperbeli asymptootitpoikittaisakseli
2a
liittoakseli
2b
asymptootit
\small y=\pm \frac{b}{a}x
Liitto-hyperbeli liitto-hyperbeli
 xy = C xy = C ( C < 0)
  asymptootteina
koordinaattiakselit