Integraalilaskenta

Määritelmä

  ∫ ƒ (x) dx = F (x) + C,  jossa F ’ (x) = ƒ (x)

 

Määräämättömään integraaliin liittyviä sääntöjä

1. ∫ k ƒ dx = k ∫ ƒ dx
2. ∫ (ƒ + g) dx = ∫ ƒ dx + ∫ g dx
3. ∫ ƒ ’ g dx = ƒ g – ∫ g ’ ƒ dx

 

Integroimiskaavoja

 \small 1.\: \int 0\:dx = C
 \small 2.\: \int k\:dx =kx+ C
 \small 3.\: \int {x}^{n}\:dx =\frac{{x}^{n+1}}{n+1} +C\: \: \left(n\neq -1 \right)
 \small 4.\: \int \frac{1}{x}\: dx = ln\: \left|x \right|+C
 \small 5.\: \int f'{f}^{n}\:dx=\frac{{f}^{n+1}}{n+1}+C \left(n\neq -1 \right)
 \small 6.\: \int \frac{f'}{f}\:dx=ln\:\left|f \right|+C
 \small 7.\:\int sin\:x\:dx=-cos\:x+C
 \small 8.\:\int cos\:x\:dx=sin\:x+C
 \small 9.\:\int tan\:x\:dx=-ln\:\left|cos\:x \right|+C
\small 10.\:\int cot\:x\:dx=ln\:\left|sin\:x \right|+C
\small 11.\:\int {e}^{x}\: dx= {e}^{x}+C
\small 12.\:\int f'{e}^{f}\: dx= {e}^{f}+C
\small 13.\:\int {a}^{x}\: dx= \frac{{a}^{x}}{ln\: a}+C
\small 14.\:\int ln\:\left|x \right|\: dx= x\:ln\:\left|x \right|-x+C
\small 15.\:\int {log}_{a}\:\left|x \right|\: dx= {log}_{a}\:e\left(x\:ln\:\left|x \right|-x \right)+C\:\:\left(a>0,\:a\neq 1 \right)
\small 16.\: \int \frac{dx}{1+{x}^{2}}=arctan\:x+C
\small 17.\: \int \frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}}=arcsin\:x+C

 

Määrätty integraali

\small \int_{a}^{b}f(x)\:dx= jossa F ’ (x) = F (x)

Määrättyyn integraaliin liittyyviä sääntöjä

 \small 1.\:\int_{a}^{c}f\:dx=\int_{a}^{b}f\:dx + \int_{b}^{c}f\:dx
 \small 2.\:\int_{a}^{a}f\:dx=0
 \small 3.\:\int_{a}^{b}f\:dx=-\int_{b}^{a}f\:dx
 \small 4.\:\int_{a}^{b}f\:dx\geq \int_{a}^{b}g\:dxintegroimisvälillä
\small 5.\: \int_{a}^{b}f'g\:dx= \small fg-\int_{a}^{b}g'f\:dx(osittaisintegrointi)
 \small 6.\:\int_{-a}^{a}f\:dx=2\int_{0}^{a}f\:dx,jos ƒ on parillinen: ƒ (-x) = ƒ (x)
 \small 7.\:\int_{-a}^{a}f\:dx=0,jos ƒ on pariton: ƒ (-x) = – f (x)
 (epäoleellinen integraali)

 

Käyrän kaaren pituus

 \small s=\int_{a}^{b}\sqrt{1+{\left[f'\left(x \right) \right]}^{2}}\:dx 

 

Pinta-ala integraaleja

 \small 1.\: A=\int_{a}^{b}f(x)\:dx,\:kun\:f(x)\geq 0
 \small 2.\: A=-\int_{a}^{b}f(x)\:dx,\:kun\:f(x)\leq  0 
 \small 3. \: A=\int_{a}^{b}\left|f(x) \right|\:dx=\int_{a}^{c}f(x)\:dx-\int_{b}^{c}f(x)\:dx 
 \small 4. \: A=\int_{a}^{b}\left[f(x)-g(x) \right]\:dx,\: kun\: f(x)\geq g(x) 
 \small 5. \: A=2\pi \int_{a}^{b}\left|f(x)\right| \sqrt{1+{\left[f'(x) \right]}^{2}}\:dx (pyörähdyskappaleen vaipan ala, vertaa tilavuusintegraalela kuvio 2)

 

Tilavuusintegraaleja

 \small 1.\: V=\int_{a}^{b}A(x)\:dx 
\small 2.\: V=\pi \int_{a}^{b}f{(x)}^{2}\:dx
(pyörähdyskappale)