Differentaalilaskenta

Derivaatan määritelmä

 \small f'\left(x \right)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(x+h \right)-f\left(x \right)}{h}funktion ƒ derivaattafunktio
 \small f'\left({x}_{0} \right)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left({x}_{0}+h \right)-f\left({x}_{0} \right)}{h}=\lim_{x\rightarrow {x}_{0}}\frac{f\left(x \right)-f\left({x}_{0} \right)}{x-{x}_{0}}derivaatta kohdassa x0

 

Derivoimissääntöjä

1. D k = 0\small 5.\: D\: \frac{f}{g}=\frac{gDf-fDg}{{g}^{2}}
2. D kƒ = k6. D g (ƒ (x)) = g ’ (ƒ (x)) ƒ ’ (x)
3. D (ƒ + g) = D ƒ + D g                             \small 7.\:\left({f}^{-1} \right)'\left({y}_{0} \right)=\frac{1}{f'\left({x}_{0} \right)},missä y0 = ƒ (x0)
4. D ƒg = ƒ D g + g D ƒ

 

Derivoimiskaavoja

1. D xn = nxn-1 8. D ax = ax ln a   (a > 0)
2. D ƒn = n ƒn-1 D ƒ \small 9.\: D\: ln\left|x \right|=\frac{1}{x}
3. D sin x = cos x \small 10.\: D\: {log}_{a}\left|x \right|=\frac{1}{x\:ln\:a}\: \: \:\left(a>0,\:a\neq 1 \right)
4. D cos x = – sin x \small 11.\: D\: arcsin\:x=\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}
 \small 5.\: D \:tan\:x=\frac{1}{{cos}^{2}x}=1+{tan}^{2}x \small 12.\: D\: arccos\:x=-\frac{1}{\sqrt{1-{x}^{2}}}
 \small 6.\: D \:cot\:x=-\frac{1}{{sin}^{2}x}=-1-{cot}^{2}x \small 13.\: D\: arctan\:x=\frac{1}{1+{x}^{2}}
7. D ex = ex \small 14.\: D\: arccot\:x=-\frac{1}{1+{x}^{2}}

 

Derivaatan sovelluksia

 y – ƒ (x0) = ƒ ’ (x0) (x – x0)käyrälle y = ƒ (x) kohtaan x0 asetetun tangentin yhtälö
 \small y-f\left({x}_{0} \right)=-\frac{1}{f'\left({x}_{0} \right)}\left(x-{x}_{0} \right)normaalin yhtälö, kun ƒ ’ (x0) ≠ 0
 x = x0normaalin yhtälö, kun ƒ ’ (x0) = 0