Vektorilaskenta

Laskutoimitukset

Summa ja erotus
Luku vektori
\small \left|k\bar{a} \right|=\left|k \right|\left|\bar{a} \right|     ja

\small k\bar{a} ↑ ↑  \small \bar{a} , jos k > 0
\small k\bar{a} ↑ ↓  \small \bar{a} , jos k < 0
\small k\bar{a} = \small \bar{0} , jos k = 0

 

Määritelmiä

nollavektori\small \bar{0} on vektori, jonka suunta on epämääräinen ja pituus 0.
yksikkövektorion \small \bar{a}: n suuntainen ja sen pituus on 1,
vastavektori – \small \bar{a} on \small \bar{a}: n pituinen ja sille vastakkaissuuntainen, joten
\small \bar{a} + (- \small \bar{a}) = \small \bar{0}
paikkavektori = \small \bar{r} on origon O ja pisteen A yhdysvektori
mediaanivektori\small \bar{m}=\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2}
jakosuhdevektori \small \bar{v}=\frac{p\bar{a}+q\bar{b}}{p+q}

 

Komponenttiesitys

\small \bar{a} = ax \small \bar{i} + ay \small \bar{j} + az \small \bar{k} ,    \small \bar{b} = bx \small \bar{i} + by \small \bar{j} + bz \small \bar{k} ,     \small \bar{c} = cx \small \bar{i} + cy \small \bar{j} + cz \small \bar{k}
\small \bar{i}, \small \bar{j} ja \small \bar{k} ovat xyz -koordinaatiston yksikkövektorit.
1. paikkavektori = \small \bar{a}, jos A = ( ax , ay , az )
2. pituus \small \left|\bar{a} \right|=\sqrt{{{a}_{x}}^{2}+{{a}_{y}}^{2}+{{a}_{z}}^{2}}=\sqrt{\bar{a}\cdot \bar{a}}
3. identtisyys \small \bar{a} = \small \bar{b} ⇔ ( \small \bar{a} ↑ ↑ \small \bar{b} ∧ |\small \bar{a}| = \small \left|\bar{b} \right| ) ⇔ (ax = bx ∧ ay = by ∧ az + bz)
4. summa \small \bar{a} \small \pm \small \bar{b} = (ax \small \pm bx) \small \bar{i} + (ay \small \pm by) \small \bar{j} + (az \small \pm bz) \small \bar{k}
5. luku • vektori k\small \bar{a} = kax \small \bar{i} + kay \small \bar{j} + kaz \small \bar{k}
6. pistetulo
(skalaaritulo)
\small \bar{a} • \small \bar{b} = |\small \bar{a}| \small \left|\bar{b} \right| cos (\small \bar{a}\small \bar{b}) = ax bx + ay by + az bz
7. kohtisuoruus\small \bar{a}\small \bar{b} ⇔ \small \bar{a} • \small \bar{b} = 0 , kun \small \bar{a} , \small \bar{b}\small \bar{0}
8. välinen kulma\small cos\:\left(a,\: b \right)=\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{\left|\bar{a} \right|\left|\bar{b} \right|},     0o ≤   (\small \bar{a}, \small \bar{b}) ≤180o
9. skalaariprojektio \small {a}_{b}=\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{\left|\bar{b} \right|}
10. vektoriprojektio \small {\bar{a}}_{b}=\frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{\bar{b}\cdot \bar{b}}\: \bar{b}
 
11. ristitulo
(vektoritulo)
 
12. yhdensuuntaisuus
13. suunnikkaan ala
14. skalaarikolmiotulo
15. särmiön tilavuus\small V=\left|\bar{abc} \right|,tetraedrin tilavuus\small =\frac{1}{6}V
 
16. vektorit samassa tasossa  \small \Leftrightarrow \left|\bar{abc} \right|=0,\: kun\: \bar{a},\: \bar{b},\: \bar{c}\neq \bar{0}
17. vektorikolmitulo \small \bar{a}\times \left(\bar{b}\times \bar{c} \right)=\left(\bar{a}\cdot \bar{c} \right)\bar{b}-\left(\bar{a}\cdot \bar{b} \right)\bar{c}
 \small \left(\bar{a}\times \bar{b} \right)\times \bar{c}=\left(\bar{a}\cdot \bar{c} \right)\bar{b}-\left(\bar{b}\cdot \bar{c} \right)\bar{a}